Διαφορά μεταξύ αμοιβαία αποκλειστικών και ανεξάρτητων εκδηλώσεων

Αμοιβαία Αποκλειστικά έναντι Ανεξάρτητων Εκδηλώσεων

Οι άνθρωποι συχνά συγχέουν την έννοια των αμοιβαία αποκλειστικών γεγονότων με ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Στην πραγματικότητα, αυτά είναι δύο διαφορετικά πράγματα.

Έστω A και B είναι οποιαδήποτε δύο συμβάντα που σχετίζονται με ένα τυχαίο πείραμα E. P (A) ονομάζεται "Πιθανότητα A". Ομοίως, μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα Β ως P (B), την πιθανότητα A ή B ως P (A∪B) και πιθανότητα A και B ως P (A∩B). Στη συνέχεια, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A ∩ B).

Ωστόσο, δύο γεγονότα που λέγεται ότι είναι αμοιβαία αποκλειστικά αν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν επηρεάζει το άλλο. Με άλλα λόγια, δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Επομένως, αν δύο γεγονότα A και B είναι αμοιβαία αποκλειστικά, τότε A∩B = ∅ και συνεπώς, αυτό σημαίνει P (A∪B) = P (A) + P (B).

Έστω Α και Β δύο γεγονότα σε ένα χώρο δειγμάτων S. Η υπό όρους πιθανότητα του Α, δεδομένου ότι έχει συμβεί Β, συμβολίζεται με Ρ (Α | Β) και ορίζεται ως: P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B), με την προϋπόθεση P (B)> 0. (διαφορετικά, δεν ορίζεται.)

Ένα γεγονός Α λέγεται ότι είναι ανεξάρτητο από ένα γεγονός Β, αν η πιθανότητα να συμβεί Α δεν επηρεάζεται από το εάν έχει συμβεί Β ή όχι. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα του συμβάντος Β δεν έχει καμία επίδραση στο αποτέλεσμα του συμβάντος Α. Συνεπώς, P (A | B) = P (A). Ομοίως, το Β είναι ανεξάρτητο από το Α αν P (B) = P (B | A). Ως εκ τούτου, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αν A και B είναι ανεξάρτητα γεγονότα, τότε P (A∩B) = P (A). P (B)

Ας υποθέσουμε ότι ένας αριθμημένος κύβος είναι τυλιγμένος και ένα δίκαιο κέρμα ανατρέπεται. Ας είναι το γεγονός ότι η απόκτηση ενός κεφαλιού και του Β είναι το γεγονός που κυλάει έναν ζυγό αριθμό. Τότε μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα, επειδή αυτό το αποτέλεσμα ενός δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα του άλλου. Επομένως, P (A∩B) = P (A). Ρ (Β) = (1/2) (1/2) = 1/4. Δεδομένου ότι το P (A∩B) ≠ 0, τα Α και Β δεν μπορούν να αλληλοσυμπληρώνονται.

Ας υποθέσουμε ότι μια ουρά περιέχει 7 λευκά μάρμαρα και 8 μαύρα μάρμαρα. Καθορίστε το συμβάν Α όπως σχεδιάζετε ένα λευκό μάρμαρο και το γεγονός Β όπως σχεδιάζετε ένα μαύρο μάρμαρο. Υποθέτοντας ότι κάθε μάρμαρο θα αντικατασταθεί αφού καταγράψει το χρώμα του, τότε τα P (A) και P (B) θα είναι πάντοτε τα ίδια, ανεξάρτητα από το πόσες φορές αντλούμε από την ουρά. Η αντικατάσταση των μαρμάρων σημαίνει ότι οι πιθανότητες δεν αλλάζουν από κλήρωση σε ισοπαλία, ανεξάρτητα από το χρώμα που επιλέξαμε στην τελευταία κλήρωση. Επομένως, τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα.

Ωστόσο, εάν τα μάρμαρα τραβούνταν χωρίς αντικατάσταση, τότε όλα αλλάζουν. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, τα γεγονότα Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα. Το σχέδιο ενός λευκού μαρμάρου την πρώτη φορά αλλάζει τις πιθανότητες για την κατάρτιση ενός μαύρου μαρμάρου στη δεύτερη κλήρωση και ούτω καθεξής. Με άλλα λόγια, κάθε ισοπαλία έχει επίδραση στην επόμενη κλήρωση, και έτσι οι ατομικές κλήρωση δεν είναι ανεξάρτητες.

Διαφορά μεταξύ αμοιβαία αποκλειστικών και ανεξάρτητων γεγονότων - Η αμοιβαία αποκλειστικότητα των γεγονότων σημαίνει ότι δεν υπάρχει αλληλεπικάλυψη μεταξύ των συνόλων Α και Β. Η ανεξαρτησία των γεγονότων σημαίνει ότι το συμβάν του Α δεν επηρεάζει το συμβάν του B. δύο γεγονότα A και B αμοιβαία αποκλειστικά, τότε P (A∩B) = 0. - Αν δύο γεγονότα A και B είναι ανεξάρτητα, τότε P (A∩B) = P (A). Ρ (Β)