Διαφορά μεταξύ πιθανής κατανομής και πιθανότητας πυκνότητας Λειτουργία
Λειτουργία κατανομής πιθανοτήτων vs πιθανότητα πυκνότητας
Πιθανότητα είναι η πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός. Αυτή η ιδέα είναι πολύ κοινή και χρησιμοποιείται συχνά στην καθημερινή ζωή όταν αξιολογούμε τις ευκαιρίες, τη συναλλαγή και πολλά άλλα πράγματα. Η επέκταση αυτής της απλής έννοιας σε ένα μεγαλύτερο σύνολο συμβάντων είναι λίγο πιο δύσκολο. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις πιθανότητες να κερδίσουμε μια κλήρωση, αλλά είναι βολικό, μάλλον διαισθητικό, να πούμε ότι υπάρχει πιθανότητα ενός στους έξι που θα πάμε να πάρουμε τον αριθμό έξι σε ένα ζάρι που ρίχνεται.
Όταν ο αριθμός των γεγονότων που μπορούν να γίνουν όλο και μεγαλύτερος ή ο αριθμός των ατομικών δυνατοτήτων είναι μεγάλος, αυτή η μάλλον απλή ιδέα της πιθανότητας αποτυγχάνει. Επομένως, πρέπει να δοθεί ένας στερεός μαθηματικός ορισμός πριν πλησιάσει προβλήματα με μεγαλύτερη πολυπλοκότητα.
Όταν ο αριθμός των συμβάντων που μπορεί να λάβει χώρα σε μια συγκεκριμένη κατάσταση είναι μεγάλος, είναι αδύνατο να εξετάσουμε κάθε συμβάν ξεχωριστά, όπως στο παράδειγμα των ζαριών που ρίχνονται. Επομένως, ολόκληρο το σύνολο των γεγονότων συνοψίζεται με την εισαγωγή της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής. Πρόκειται για μια μεταβλητή, η οποία μπορεί να υποθέσει τις τιμές διαφορετικών συμβάντων σε αυτή τη συγκεκριμένη κατάσταση (ή το χώρο του δείγματος). Δίνει μια μαθηματική αίσθηση σε απλά γεγονότα στην κατάσταση και μαθηματικό τρόπο αντιμετώπισης του γεγονότος. Πιο συγκεκριμένα, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση πραγματικής τιμής πάνω από τα στοιχεία του χώρου δειγμάτων. Οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν είτε να είναι διακριτές είτε συνεχείς. Σημειώνονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου.
Η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων (ή απλώς η κατανομή πιθανοτήτων) είναι μια συνάρτηση που καθορίζει τις τιμές πιθανότητας για κάθε συμβάν. Εγώ. μι. παρέχει μια σχέση με τις πιθανότητες για τις τιμές που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ορίζεται για διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το ισοδύναμο της συνάρτησης κατανομής πιθανοτήτων για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, δίνει την πιθανότητα μια συγκεκριμένη τυχαία μεταβλητή να πάρει μια ορισμένη τιμή.
Αν ηX είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση που δίνεται ως f (x Για κάθε x > X = x X ονομάζεται συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων.Μια συνάρτηση μπορεί να χρησιμεύσει ως συνάρτηση κατανομής πιθανότητας αν και μόνο αν η λειτουργία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες. 1. f (x) ≥ 0 2. Σ f (x) = 1 Μια συνάρτηση f που ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής
X, εάν και μόνον εάν P (x
(x) dx για κάθε πραγματική σταθερά a και b . Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πρέπει επίσης να ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες. 1. f (x) ≥ 0 για όλους x: -0 << x <+ ∞ 2.
-∞
∫ + ∞ f (x) dx = 1 χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύουν τη διανομή πιθανών στοιχείων στο χώρο του δείγματος. Συνήθως, αυτές ονομάζονται κατανομές πιθανοτήτων.
Για τη στατιστική μοντελοποίηση παράγονται τυπικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας και λειτουργίες κατανομής πιθανοτήτων. Η κανονική κατανομή και η τυποποιημένη κανονική κατανομή είναι παραδείγματα των συνεχόμενων κατανομών πιθανοτήτων. Η διωνυμική κατανομή και η κατανομή Poisson είναι παραδείγματα διακριτών κατανομών πιθανότητας. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της πιθανότητας κατανομής και της πιθανότητας πυκνότητας; • Η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι λειτουργίες που ορίζονται στο χώρο του δείγματος, για να εκχωρήσουν την αντίστοιχη τιμή πιθανότητας σε κάθε στοιχείο. • Οι λειτουργίες κατανομής πιθανότητας καθορίζονται για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές ενώ οι λειτουργίες πυκνότητας πιθανότητας καθορίζονται για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. • Η κατανομή των πιθανών τιμών (δηλ. Κατανομές πιθανοτήτων) απεικονίζεται καλύτερα από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων. • Η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως τιμές σε έναν πίνακα, αλλά αυτό δεν είναι δυνατό για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας επειδή η μεταβλητή είναι συνεχής. • Όταν σχεδιάζεται, η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων δίνει μια γραφική παράσταση γραμμής, ενώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνει μια καμπύλη. • Το ύψος / το μήκος των ράβδων της συνάρτησης κατανομής πιθανοτήτων πρέπει να προστεθεί στο 1 ενώ η περιοχή κάτω από την καμπύλη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας πρέπει να προστεθεί στο 1. • Και στις δύο περιπτώσεις, όλες οι τιμές της συνάρτησης πρέπει να είναι μη αρνητικές.
