Διαφορά μεταξύ σειράς Fourier και μετασχηματισμού Fourier

Σειρά Fourier έναντι μετασχηματισμού Fourier

Η σειρά Fourier αποσυνθέτει μια περιοδική συνάρτηση σε ένα άθροισμα των sines και των συνημίτων με διαφορετικές συχνότητες και τα πλάτη. Η σειρά Fourier είναι ένας κλάδος της ανάλυσης Fourier και εισήχθη από τον Joseph Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μια μαθηματική πράξη που σπάζει ένα σήμα στις συνιστώσες συχνότητές του. Το αρχικό σήμα που άλλαξε με την πάροδο του χρόνου ονομάζεται χρονική παράσταση του σήματος. Ο μετασχηματισμός Fourier ονομάζεται εκπροσώπηση πεδίου συχνότητας ενός σήματος αφού εξαρτάται από τη συχνότητα. Τόσο η αναπαράσταση ενός τομέα συχνοτήτων ενός σήματος όσο και η διαδικασία που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει αυτό το σήμα στην περιοχή συχνοτήτων αναφέρονται ως μετασχηματισμός Fourier.

Τι είναι η σειρά Fourier;

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η σειρά Fourier είναι μια επέκταση μιας περιοδικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας άπειρο άθροισμα sines και cosines. Η σειρά Fourier αναπτύχθηκε αρχικά κατά την επίλυση των εξισώσεων θερμότητας αλλά αργότερα διαπιστώθηκε ότι η ίδια τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός μεγάλου συνόλου μαθηματικών προβλημάτων ειδικά για τα προβλήματα που αφορούν γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Τώρα, η σειρά Fourier έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς, όπως η ηλεκτρολογία, η ανάλυση των κραδασμών, η ακουστική, η οπτική, η επεξεργασία σήματος, η επεξεργασία εικόνων, η κβαντομηχανική και η οικονομετρία. Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούν τις σχέσεις ορθογωνιότητας των λειτουργιών sine και cosine. Ο υπολογισμός και η μελέτη της σειράς Fourier είναι γνωστός ως η αρμονική ανάλυση και είναι πολύ χρήσιμος όταν εργαζόμαστε με αυθαίρετες περιοδικές λειτουργίες, διότι επιτρέπει τη διακοπή της λειτουργίας σε απλούς όρους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξεύρεση λύσης στο αρχικό πρόβλημα.

Τι είναι ο μετασχηματισμός του Fourier;

Ο μετασχηματισμός Fourier ορίζει μια σχέση μεταξύ ενός σήματος στο πεδίο χρόνου και της αναπαράστασής του στον τομέα συχνοτήτων. Ο μετασχηματισμός Fourier αποσυνθέτει μια συνάρτηση σε ταλαντωτικές λειτουργίες. Δεδομένου ότι πρόκειται για μετασχηματισμό, το αρχικό σήμα μπορεί να ληφθεί από τη γνώση του μετασχηματισμού, έτσι δεν δημιουργούνται ή χάνουν πληροφορίες στη διαδικασία. Η μελέτη των σειρών Fourier παρέχει πραγματικά κίνητρα για το μετασχηματισμό Fourier. Λόγω των ιδιοτήτων των sines και των κοσκινών είναι δυνατή η ανάκτηση της ποσότητας κάθε κύματος που συμβάλλει στο άθροισμα χρησιμοποιώντας ένα ενιαίο σύνολο. Ο μετασχηματισμός Fourier έχει κάποιες βασικές ιδιότητες όπως η γραμμικότητα, η μετάφραση, η διαμόρφωση, η κλιμάκωση, η σύζευξη, η δυαδικότητα και η συνέλιξη. Ο μετασχηματισμός Fourier εφαρμόζεται στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων αφού ο μετασχηματισμός Fourier είναι στενά συνδεδεμένος με το μετασχηματισμό Laplace. Ο μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται επίσης στον πυρηνικό μαγνητικό συντονισμό (NMR) και σε άλλα είδη φασματοσκοπίας.

Η διαφορά μεταξύ της σειράς Fourier και του μετασχηματισμού Fourier

Η σειρά Fourier είναι μια επέκταση του περιοδικού σήματος ως ένας γραμμικός συνδυασμός των sines και των κοσκινισμών, ενώ ο μετασχηματισμός Fourier είναι η διαδικασία ή η συνάρτηση που χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή σημάτων από το πεδίο χρόνου σε τομέα συχνοτήτων. Η σειρά Fourier ορίζεται για περιοδικά σήματα και ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να εφαρμοστεί σε απεριόριστα σήματα (χωρίς περιοδικότητα). Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η μελέτη των σειρών Fourier προσφέρει πραγματικά κίνητρα για το μετασχηματισμό Fourier.