Διαφορά μεταξύ διαφοράς εξισώσεων και διαφορικής εξισώσεως

Διαφορά εξισώσεων έναντι διαφορικής εξισώσεως

Ένα φυσικό φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά από λειτουργίες ενός αριθμού ανεξάρτητων μεταβλητών και παραμέτρων. Ειδικά όταν εκφράζονται από μια συνάρτηση της χωρικής θέσης και του χρόνου οδηγεί σε εξισώσεις. Η συνάρτηση μπορεί να αλλάξει με την αλλαγή στις ανεξάρτητες μεταβλητές ή τις παραμέτρους. Μια απειροελάχιστη αλλαγή που συμβαίνει στη συνάρτηση όταν αλλάζει μία από τις μεταβλητές της, ονομάζεται παράγωγο αυτής της συνάρτησης.

Μια διαφορική εξίσωση είναι οποιαδήποτε εξίσωση η οποία περιέχει παράγωγα μιας συνάρτησης καθώς και την ίδια τη λειτουργία. Μια απλή διαφορική εξίσωση είναι αυτή του δεύτερου νόμου κίνησης του Νεύτωνα. Αν ένα αντικείμενο μάζας m κινείται με επιτάχυνση «α» και ενεργεί με δύναμη F τότε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι F = ma. Και πάλι, το 'a' ποικίλλει ανάλογα με το χρόνο, μπορούμε να ξαναγράψουμε 'a' ως; α = νν / άτ. v είναι η ταχύτητα. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση του χώρου και του χρόνου, δηλαδή v = ds / dt. επομένως 'a' = d ² s / dt ² .

Έχοντας αυτά υπόψη, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ως διαφορική εξίσωση.

«F» ως συνάρτηση των v και t - F (v, t) = mdv / dt ή

«F» ως συνάρτηση s και t - F (s, ds / dt, t) = md ² s / dt ²

Υπάρχουν δύο τύποι διαφορικών εξισώσεων. συνηθισμένη διαφορική εξίσωση, συντομευμένη με ODE ή μερική διαφορική εξίσωση, συντομευμένη από PDE. Η συνήθης διαφορική εξίσωση θα έχει τα συνήθη παράγωγα (παράγωγα μίας μόνο μεταβλητής) σε αυτό. Η μερική διαφορική εξίσωση θα έχει διαφορικά παράγωγα (παράγωγα περισσότερων από μία μεταβλητών) σε αυτήν.

e. σολ. F ² d ² s / dt ² 2 ^{> = du / dt είναι ένα PDE, έχει παράγωγα t και x.} Η εξίσωση διαφοράς είναι ίδια με τη διαφορική εξίσωση, αλλά την εξετάζουμε σε διαφορετικό πλαίσιο. Στις διαφορικές εξισώσεις, η ανεξάρτητη μεταβλητή όπως ο χρόνος θεωρείται στο πλαίσιο του συστήματος συνεχούς χρόνου. Σε σύστημα διακριτού χρόνου, καλούμε τη συνάρτηση ως εξίσωση διαφορών. ^{Η εξίσωση διαφοράς είναι συνάρτηση των διαφορών. Οι διαφορές στις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τρεις τύποι. ακολουθία αριθμού, διακεκριμένο δυναμικό σύστημα και επαναλαμβανόμενη λειτουργία.} Σε ακολουθία αριθμών, η αλλαγή δημιουργείται αναδρομικά χρησιμοποιώντας έναν κανόνα για τη σύνδεση κάθε αριθμού στην ακολουθία με προηγούμενους αριθμούς στην ακολουθία.

Η εξίσωση διαφοράς σε ένα διακριτό δυναμικό σύστημα χρειάζεται κάποιο διακεκριμένο σήμα εισόδου και παράγει σήμα εξόδου.

Η εξίσωση διαφορών είναι ένας επαναλαμβανόμενος χάρτης για επαναλαμβανόμενη λειτουργία. Π.χ. (y

0), f (y

0 _{)) >))), ….είναι η ακολουθία μιας επαναλαμβανόμενης συνάρτησης. Το f (y} 0 _{) είναι η πρώτη iterate του y} 0 _{. Η k-th επανάληψη θα σημειωθεί με f} k _(y 0 _).