Διαφορά μεταξύ καρδινάλιος και κανονικού: Καρδινάλιος εναντίον κανονικού

Καρδινάλιος εναντίον Ordinal

Στην καθημερινότητά μας, η χρήση αριθμών μπορεί να λαμβάνει διαφορετικές μορφές σε διαφορετικές καταστάσεις. Για παράδειγμα, όταν μετράμε για να καταλάβουμε το μέγεθος μιας συλλογής αντικειμένων, τα μετράμε ως ένα, δύο, τρία, και ούτω καθεξής. Όταν θέλουμε να μετρήσουμε κάτι για να πάρουμε την αίσθηση της θέσης των αντικειμένων, τα μετράμε ως πρώτο, δεύτερο, τρίτο και ούτω καθεξής. Στην πρώτη μορφή μέτρησης, οι αριθμοί λέγονται ότι είναι καρδινάλιοι αριθμοί. Στη δεύτερη μορφή καταμέτρησης, οι αριθμοί θεωρούνται αριθμητικοί αριθμοί. Σε αυτό το πλαίσιο, οι έννοιες καρδινάλιος και συγγραφέας είναι εντελώς θέμα γλωσσολογίας. Καρδινάλιος και Ορνινάλ είναι επίθετα.

Ωστόσο, η επέκταση της έννοιας στα σύνολα στα μαθηματικά αποκαλύπτει μια πολύ βαθύτερη και ευρύτερη προοπτική και δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί απλά. Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τις θεμελιώδεις έννοιες των καρδινάλων και των κανονικών αριθμών στα μαθηματικά.

Οι τυπικοί ορισμοί των καρδινάλων και των κανονικών αριθμών παρέχονται στη θεωρία των συνόλων. Οι ορισμοί είναι περίπλοκοι και για να τους κατανοήσουμε με άριστη έννοια χρειάζεται γνώση του υποβάθρου στη θεωρία των συνόλων. Ως εκ τούτου, θα στραφούμε προς δύο παραδείγματα, για να κατανοήσουμε ευρετικά τις έννοιες.

Σκεφτείτε τα δύο σύνολα {1, 3, 6, 4, 5, 2} και {{bus, car, ferry, train, airplane, helicopter}. Κάθε σετ παραθέτει ένα σύνολο στοιχείων και αν μετρήσουμε τον αριθμό των στοιχείων είναι προφανές ότι ο καθένας έχει τον ίδιο αριθμό στοιχείων, ο οποίος είναι 6. Έχοντας φθάσει σε αυτό το συμπέρασμα έχουμε πάρει το μέγεθος ενός συνόλου και σε σύγκριση με ένα άλλο χρησιμοποιώντας ένα αριθμός. Ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται καρδινάλιος αριθμός. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι ένας καρδινάλιος αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να συγκρίνουμε το μέγεθος των πεπερασμένων συνόλων.

Και πάλι το πρώτο σύνολο αριθμών μπορεί να διευθετηθεί με αύξουσα σειρά λαμβάνοντας υπόψη το μέγεθος κάθε στοιχείου και τη σύγκρισή του. Κατά τη διαδικασία παραγγελίας, οι αριθμοί θεωρούνται κάρδανοι. Ομοίως, το σύνολο όλων των μη αρνητικών ακεραίων μπορεί να ταξινομηθεί σε ένα σετ. Εγώ. e {0, 1, 2, 3, 4, …}. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, το μέγεθος του σετ γίνεται άπειρο και δεν είναι δυνατό να το δίνεις με όρους γραμματίων. Ανεξάρτητα από το μέγεθος ενός αριθμού που επιλέγετε για να δώσετε το μέγεθος του σετ, εξακολουθούν να υπάρχουν αριθμοί που έχουν απομείνει από το σετ που επιλέγετε και ποιοι είναι μη αρνητικοί ακεραίοι.

Επομένως, οι μαθηματικοί ορίζουν αυτό τον άπειρο καρδινάλιο (ο οποίος είναι ο πρώτος) ως Aleph-0, γραμμένος ως א (πρώτο γράμμα στο εβραϊκό αλφάβητο).Ο επίσημος αριθμός είναι τυπικά ο τύπος παραγγελίας ενός καλά οργανωμένου συνόλου. Επομένως, ο αύξων αριθμός των πεπερασμένων συνόλων μπορεί να δοθεί από τους βασικούς αριθμούς, αλλά για άπειρα σύνολα ordinal δίνεται από διακριτές αριθμούς όπως Aleph-0.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των καρδινάλων και των γραμμικών αριθμών;

• Ο βασικός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετρήσει ή για να δώσει το μέγεθος ενός πεπερασμένου παραγγελθέντος συνόλου. Όλοι οι αριθμοί είναι καρδινάλιο.

• Οι αύξοντες αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να δώσουν το μέγεθος τόσο των πεπερασμένων όσο και των απεριόριστων σειριακών συνόλων. Το μέγεθος των πεπερασμένων ταξινομημένων συνόλων δίνεται από τους συνήθεις αλγεβρικούς ινδούς-αραβικούς αριθμούς και το άπειρο καθορισμένο μέγεθος δίδεται από διακεκριμένους αριθμούς.