Διαφορά μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής σειράς: αριθμητική Vs γεωμετρική σειρά συγκρίσιμη

Αριθμητική vs. Γεωμετρική σειρά

Ο μαθηματικός ορισμός μιας σειράς σχετίζεται στενά με τις ακολουθίες. Μια ακολουθία είναι ένα ταξινομημένο σύνολο αριθμών και μπορεί να είναι είτε ένα πεπερασμένο είτε ένα άπειρο σύνολο. Μια ακολουθία αριθμών με τη διαφορά μεταξύ δύο στοιχείων που είναι μια σταθερά είναι γνωστή ως αριθμητική πρόοδος. Μια ακολουθία με σταθερό πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών είναι γνωστή ως γεωμετρική εξέλιξη. Αυτές οι εξελίξεις μπορεί να είναι είτε πεπερασμένες είτε άπειρες, και αν είναι πεπερασμένες, ο αριθμός των όρων είναι μετρήσιμος, άλλος ασυνείδητος.

Γενικά, το άθροισμα των στοιχείων σε μια εξέλιξη μπορεί να οριστεί ως μια σειρά. Το άθροισμα μιας αριθμητικής εξέλιξης είναι γνωστό ως αριθμητική σειρά. Ομοίως, το άθροισμα μιας γεωμετρικής εξέλιξης είναι γνωστό ως γεωμετρική σειρά.

Περισσότερα για την αριθμητική σειρά

Σε μια αριθμητική σειρά, οι διαδοχικοί όροι έχουν σταθερή διαφορά.

3

+ ₄ + ⋯ + _ένα η _{= Σ} η _{ί = 1} α _ί ; όπου ₂ = a ¹ _{+ d,} 3 _{= a} 2 _{+ d κ.λπ.} Αυτή η διαφορά d είναι γνωστή ως κοινή διαφορά και ο όρος δίνεται από ένα _n = a ₁ + (η-1) d. όπου

1

είναι ο πρώτος όρος. ^{Η συμπεριφορά της σειράς αλλάζει με βάση την κοινή διαφορά d. Εάν η κοινή διαφορά είναι θετική, η εξέλιξη τείνει να είναι θετικό άπειρο, και αν η κοινή διαφορά είναι αρνητική, τείνει προς το αρνητικό άπειρο.}

_{Το άθροισμα της σειράς μπορεί να ληφθεί με τον ακόλουθο απλό τύπο, ο οποίος αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Ινδικό αστρονόμο και τον μαθηματικό Aryabhata.} S _n = n / 2 (α ₁ + α

n

-1) d]

Το άθροισμα S

n _{μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο, με βάση τον αριθμό των όρων.} Περισσότερες πληροφορίες για τη γεωμετρική σειρά _{Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά με σταθερό το πηλίκο των διαδοχικών αριθμών. Πρόκειται για μια σημαντική σειρά που βρέθηκε στη μελέτη της σειράς, λόγω των ιδιοτήτων που κατέχει.} S _n = ar + ar ₂ + ar

3 _{> i = 1} ar

i

Με βάση την αναλογία r, η συμπεριφορά της σειράς μπορεί να κατηγοριοποιηθεί ως εξής. r = {| r | ≥ σειρά αποκλίνει; σειρά r≤1 συγκλίνει}. Επίσης, εάν r <0>

Το άθροισμα των γεωμετρικών σειρών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο.S _n = a (1-r ⁿ ) / (1-r); όπου a είναι ο αρχικός όρος και r είναι ο λόγος. Εάν ο λόγος r≤1, η σειρά συγκλίνει. Για μια άπειρη σειρά, η τιμή της σύγκλισης δίνεται από το S ⁿ = a / (1-r). ^{Η γεωμετρική σειρά έχει πολλές εφαρμογές στους τομείς των φυσικών επιστημών, της μηχανικής και των οικονομικών} Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της αριθμητικής και της γεωμετρικής σειράς; ^{• Μια αριθμητική σειρά είναι μια σειρά με μια σταθερή διαφορά μεταξύ δύο παρακείμενων όρων.} _{• Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά με σταθερό πηλίκο μεταξύ δύο διαδοχικών όρων.} • Όλες οι άπειρες αριθμητικές σειρές πάντοτε αποκλίνουν, αλλά ανάλογα με τον λόγο, οι γεωμετρικές σειρές μπορούν είτε να είναι συγκλίνουσες είτε να αποκλίνουν. ^{• Οι γεωμετρικές σειρές μπορούν να έχουν ταλαντώσεις στις τιμές. δηλαδή, οι αριθμοί αλλάζουν τα σημάδια τους εναλλακτικά, αλλά η αριθμητική σειρά δεν μπορεί να έχει ταλαντώσεις.}