Διαφορά μεταξύ ορθολογικών και παράλογων αριθμών Διαφορά μεταξύ

Ο όρος "αριθμοί" μας φέρνει στο μυαλό μας τι είναι γενικά ταξινομημένο ως θετικές ακέραιες τιμές μεγαλύτερες από το μηδέν. Άλλες κατηγορίες αριθμών περιλαμβάνουν ακέραιους αριθμούς και κλάσματα , σύνθετα και πραγματικούς αριθμούς και επίσης αρνητικές ακέραιες τιμές .

Επέκταση των ταξινομήσεων των αριθμών περαιτέρω, συναντάμε λογικούς και παράλογους αριθμούς. Ένας ορθολογικός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Με άλλα λόγια, ο λογικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως λόγος δύο αριθμών.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον αριθμό 6 . Μπορεί να γραφτεί ως ο λόγος δύο αριθμών, δηλ. 6 και 1 , οδηγώντας στην αναλογία 6/1 . Ομοίως, 2/3 , που είναι γραμμένο ως κλάσμα, είναι ένας λογικός αριθμός.

Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε έναν λογικό αριθμό, σαν έναν αριθμό γραμμένο με τη μορφή ενός κλάσματος, όπου τόσο ο αριθμητής (ο αριθμός στην κορυφή) όσο και ο παρονομαστής (ο αριθμός στο κάτω μέρος) είναι ολόκληροι αριθμοί. Εξ ορισμού, επομένως, κάθε ακέραιος αριθμός είναι επίσης ένας λογικός αριθμός.

(129, 367, 871

) / ( 547, 724, 863 θα αποτελέσει επίσης ένα παράδειγμα ενός λογικού αριθμού για τον απλό λόγο ότι τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι ολόκληροι αριθμοί. Αντιστρόφως, οποιοσδήποτε αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή ενός κλάσματος ή μιας αναλογίας, θεωρείται ως παράλογος. Το πιο συχνά αναφερόμενο παράδειγμα ενός παράλογου αριθμού είναι √

2 ( 1. 414213 …) . Ένα άλλο δημοφιλές παράδειγμα ενός παράλογου αριθμού είναι η αριθμητική σταθερά π ( 3. 141592 … ) .

Ένας παράλογος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό, αλλά όχι ως κλάσμα. Οι παράλογοι αριθμοί δεν χρησιμοποιούνται συχνά στην καθημερινή ζωή, αν και υπάρχουν στη γραμμή αριθμών. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός παράλογων αριθμών μεταξύ

0

και 1 στη γραμμή αριθμών. Ένας παράλογος αριθμός έχει ατελείωτα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία στα δεξιά του δεκαδικού σημείου. - Σημειώστε ότι η συχνά αναφερόμενη τιμή

22/7

για τη σταθερά π είναι στην πραγματικότητα μόνο μία τιμή π >. Εξ ορισμού, η περιφέρεια ενός κύκλου διαιρούμενη με το διπλάσιο της ακτίνας είναι η τιμή του π. Αυτό οδηγεί σε πολλαπλές τιμές π , συμπεριλαμβανομένων, μεταξύ άλλων, 333/106, 355/113 και ούτω καθεξής1. Μόνο οι τετραγωνικές ρίζες των τετραγωνικών αριθμών. Εγώ. μι., οι τετραγωνικές ρίζες των τέλειων τετραγώνων είναι ορθολογικές. -

√1 (1) (Ορθολογική)

√2

(λανθασμένη) = 2 (Ορθολογική)

√5, √6, √7, √8 (Παράλογη)

√9 = 3

. Επιπλέον, σημειώνουμε ότι μόνο οι ρίζες n

των εξουσιών n

είναι λογικές. Έτσι, η 6η ρίζα

64 είναι λογική, επειδή 64 ισχύς 2 . Αλλά η 6η ρίζα 63 είναι παράλογη. 63 δεν είναι τέλεια ενέργεια 6 th .

Αναπόφευκτα, η δεκαδική αναπαράσταση των ανορθολογισμών έρχεται σε εικόνα και παρουσιάζει μερικά ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Όταν εκφράζουμε έναν ορθολογικό αριθμό ως δεκαδικό, τότε είτε το δεκαδικό θα είναι ακριβές (όπως στο 1/5 = 0. 20) ή θα είναι

μη ακριβές

(όπως στο

1/3 ≈ 0. 3333 ). Και στις δύο περιπτώσεις, θα υπάρχει ένα προβλέψιμο μοτίβο ψηφίων. Σημειώστε ότι όταν ένας παράλογος αριθμός εκφράζεται ως δεκαδικό, τότε σαφώς θα είναι ανακριβής, διότι αλλιώς ο αριθμός θα ήταν λογικός. Επιπλέον, δεν θα υπάρχει ένα προβλέψιμο μοτίβο ψηφίων. Για παράδειγμα, √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 Τώρα, με λογικούς αριθμούς, αντιμετωπίζουμε περιστασιακά 1/11 = 0. 0909090 . Η χρήση τόσο του σημείου ισότητας ( = ) όσο και των τριών τελειών ( ελλείψος ) υποδηλώνει ότι αν και δεν είναι δυνατόν να εκφράσουμε με ακρίβεια

1/11

ως δεκαδικό, μπορούμε ακόμα να το προσεγγίσουμε με τόσες δεκαδικές ψηφία που επιτρέπονται για να πλησιάσουμε στο 1/11

. Έτσι, η δεκαδική μορφή 1/11

θεωρείται ανακριβής. Με τον ίδιο τρόπο, η δεκαδική μορφή ¼ η οποία είναι 0. 25, είναι ακριβής. Έρχονται με δεκαδική μορφή για παράλογους αριθμούς, θα είναι πάντα ανακριβείς. Συνεχίζοντας με το παράδειγμα √ 2 , όταν γράφουμε √2 = 1. 41421356237 … (υποδηλώνει τη χρήση ελλείψεων) > √2

θα είναι ακριβής. Επιπλέον, δεν θα υπάρχει προβλέψιμο μοτίβο ψηφίων. Χρησιμοποιώντας και πάλι τις έννοιες από τις αριθμητικές μεθόδους, μπορούμε να προσεγγίσουμε ορθολογικά για όσο το δυνατόν περισσότερα δεκαδικά ψηφία μέχρι το σημείο που πλησιάζουμε στο √2 . Οποιαδήποτε σημείωση σχετικά με τους ορθολογικούς και παράλογους αριθμούς δεν μπορεί να τερματιστεί χωρίς την υποχρεωτική απόδειξη του γιατί √2 είναι παράλογο. Με αυτόν τον τρόπο, διασαφηνίζουμε, επίσης, το κλασικό παράδειγμα μιας απόδειξης με cont

. Υποθέστε ότι το √2 είναι λογικό. Αυτό μας οδηγεί να την εκπροσωπούμε ως αναλογία δύο ακέραιων αριθμών, π.χ. p και q . √2 = p / q Περιττό να πούμε ότι p

και q δεν έχουν κοινούς παράγοντες. τους από τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Κάνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, καταλήγουμε με

- 2 2 / q 2

Αυτό μπορεί εύκολα να γραφτεί ως

p 2 > 2 Η τελευταία εξίσωση υποδηλώνει ότι η p

2

είναι ομοιόμορφη. Αυτό είναι εφικτό μόνο εάν η ίδια η

p είναι ομαλή. Αυτό με τη σειρά του υποδηλώνει ότι p 2

διαιρείται με

4 . Επομένως, q 2

και κατά συνέπεια q πρέπει να είναι ομοιόμορφα.Επομένως, τα p και q είναι και τα δύο, πράγμα που αποτελεί αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση ότι δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Επομένως, το √2 δεν μπορεί να είναι λογικό. Ε. Δ.