Διωνυμική vs Κανονική Κατανομή
Οι κατανομές πιθανοτήτων τυχαίων μεταβλητών διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στον τομέα των στατιστικών. Από αυτές τις κατανομές πιθανότητας, η διωνυμική κατανομή και η κανονική κατανομή είναι δύο από τις συχνότερα εμφανιζόμενες στην πραγματική ζωή.
Τι είναι η διωνυμική διανομή;
Η διωνυμική κατανομή είναι η κατανομή πιθανοτήτων που αντιστοιχεί στην τυχαία μεταβλητή X, που είναι ο αριθμός επιτυχιών μιας πεπερασμένης ακολουθίας ανεξάρτητων πειραμάτων ναι / όχι καθένα από τα οποία έχει πιθανότητα της επιτυχίας p. Από τον ορισμό του X, είναι προφανές ότι πρόκειται για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή. Επομένως, η διωνυμική κατανομή είναι επίσης διακριτή.
Η διανομή χαρακτηρίζεται ως
X ~ B (n n είναι ο αριθμός των πειραμάτων και το p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Σύμφωνα με τη θεωρία πιθανοτήτων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι B (n, p) ακολουθεί τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας. Από την εξίσωση αυτή, μπορεί περαιτέρω να συναχθεί ότι η αναμενόμενη τιμή X, E (X
) = np >, V (X) = np (1- p).
Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα τυχαίο πείραμα να πετάξετε ένα νόμισμα 3 φορές. Ορίστε την επιτυχία ως απόκτηση H, αποτυχία ως απόκτηση T και της τυχαίας μεταβλητής X ως ο αριθμός των επιτυχιών στο πείραμα. Στη συνέχεια X ~ B
(3, 0. 5) και η συνάρτηση μάζας πιθανότητας
X. Επομένως, η πιθανότητα απόκτησης τουλάχιστον 2 Η είναι P (X ≥ 2) = P (X = 2 ή X = 3) X = 2) + P (
X = 3) = 3 C 2 (0, 5 1) + 3 C 3
>) = 0,375 + 0. 125 = 0. 5.
Τι είναι η κανονική διανομή; Η κανονική κατανομή είναι η συνεχής κατανομή πιθανότητας που ορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,
. Οι παράμετροι υποδηλώνουν τη μέση και την τυπική απόκλιση του πληθυσμού ενδιαφέροντος. Όταν η
η κατανομή ονομάζεται κανονική κανονική κατανομή.
Αυτή η κατανομή ονομάζεται φυσιολογική, καθώς τα περισσότερα από τα φυσικά φαινόμενα ακολουθούν την κανονική κατανομή. Για παράδειγμα, ο IQ του ανθρώπινου πληθυσμού διανέμεται κανονικά. Όπως φαίνεται από το γράφημα αυτό είναι μονόδρομο, συμμετρικό με το μέσο και το σχήμα του κουδουνιού. Ο μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος συμπίπτουν. Η περιοχή κάτω από την καμπύλη αντιστοιχεί στο τμήμα του πληθυσμού, ικανοποιώντας μια δεδομένη κατάσταση. Τα τμήματα του πληθυσμού στο διάστημα , ,
είναι περίπου 68.2%, 95,6% και 99,8% αντίστοιχα.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των δυαδικών και των κανονικών διανομών; Η διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας ενώ η κανονική κατανομή είναι συνεχής.
Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής είναι
ενώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής είναι
Η διωνυμική κατανομή προσεγγίζεται με την κανονική κατανομή υπό ορισμένες συνθήκες αλλά όχι το αντίστροφο.
