Διαφορά μεταξύ αριθμητικής ακολουθίας και γεωμετρικής ακολουθίας: αριθμητική Vs γεωμετρική ακολουθία | Η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος
Η αριθμητική ακολουθία έναντι γεωμετρικής ακολουθίας
Η μελέτη των μορφών αριθμών και της συμπεριφοράς τους είναι μια σημαντική μελέτη στον τομέα των μαθηματικών. Συχνά αυτά τα μοτίβα μπορούν να παρατηρηθούν στη φύση και μας βοηθούν να εξηγήσουμε τη συμπεριφορά τους από επιστημονική άποψη. Οι αριθμητικές ακολουθίες και οι γεωμετρικές ακολουθίες είναι δύο από τα βασικά μοτίβα που εμφανίζονται σε αριθμούς και συχνά απαντώνται σε φυσικά φαινόμενα.
Η ακολουθία είναι ένα σύνολο παραγγελθέντων αριθμών. Ο αριθμός των στοιχείων της ακολουθίας μπορεί να είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρος.
Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την αριθμητική ακολουθία (αριθμητική εξέλιξη)
Μια αριθμητική ακολουθία ορίζεται ως μια ακολουθία αριθμών με σταθερή διαφορά μεταξύ κάθε διαδοχικού όρου. Είναι επίσης γνωστή ως αριθμητική πρόοδος.
2 , 3, 4 , … . όπου 2 = a 1 + d, 3 = a 2 + d κ.λπ. Εάν ο αρχικός όρος είναι 1 και η συνήθης διαφορά είναι d, τότε ο όρος n th
της ακολουθίας δίδεται από.a n = a 1 + (n-1) d
επίσης ως? a n = a m
+ (nm) d, . Το σύνολο των ζυγών αριθμών και το σύνολο των περιττών αριθμών είναι τα απλούστερα παραδείγματα αριθμητικών ακολουθιών, όπου κάθε ακολουθία έχει μια κοινή διαφορά (d) 2.
2 a
3+ α 4 + ≤ + n
= Σi <1> n a i; και S n = (n / 2) (a 1 + a n + (n-1) d] δίνει την τιμή της σειράς (S n) . Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη γεωμετρική ακολουθία (γεωμετρική πρόοδος)
/ a
2= r, αριθμός.
Είναι ευκολότερο να αναπαρασταθεί η γεωμετρική ακολουθία χρησιμοποιώντας την κοινή αναλογία (r) και τον αρχικό όρο (a). Επομένως η γεωμετρική ακολουθία ⇒ α 1 , 1 r, 1 r 2 3 , …, 1 r n-1 . Η γενική μορφή των όρων n th που δίδονται από n
= a 1 r n-1 . (Η απώλεια του δείκτη του αρχικού όρου ⇒ a n = ar n-1 ) Η γεωμετρική ακολουθία μπορεί επίσης να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Εάν ο αριθμός των όρων είναι πεπερασμένος, η ακολουθία λέγεται ότι είναι πεπερασμένη. Και αν οι όροι είναι άπειροι, η ακολουθία μπορεί να είναι είτε άπειρη είτε πεπερασμένη ανάλογα με την αναλογία r. Η κοινή αναλογία επηρεάζει πολλές από τις ιδιότητες σε γεωμετρικές ακολουθίες. r> o
r = 1 Σταθερή ακολουθία, i. μι. a n = σταθερή r> 1 Η ακολουθία αποκλίνει - εκθετική ανάπτυξη, i. μι. ένα n → ∞, n → ∞ r <0 Η αλληλουχία είναι ταλαντευόμενη, αλλά συγκλίνει r = 1 Η ακολουθία είναι εναλλασσόμενη και σταθερή, i. μι. a n
= ± σταθεράr <-1
|
Η ακολουθία εναλλάσσεται και αποκλίνει. Εγώ. μι. a n |
→ ± ∞, n → ∞ |
r = 0 Η ακολουθία είναι μια σειρά από μηδενικά N. Β: Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, |
| 1 > 0; εάν |
1 <0, τα σήματα που σχετίζονται με n |
|
| θα αντιστραφούν. |
Το χρονικό διάστημα μεταξύ των αναπηδήσεων μιας μπάλας ακολουθεί μια γεωμετρική ακολουθία στο ιδανικό μοντέλο και είναι μια συγκλίνουσα αλληλουχία. Το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής ακολουθίας είναι γνωστό ως γεωμετρική σειρά. S n |
|
|
= ar + ar 2 |
+ ar |
3 |
| + ⋯ + n |
= Σ i = 1 → n ar i |
|
| . Το άθροισμα των γεωμετρικών σειρών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο. |
S η = a (1-r |
|
| n |
) / (1-r) |
; όπου a είναι ο αρχικός όρος και r είναι ο λόγος. Εάν ο λόγος, r ≤ 1, η σειρά συγκλίνει. Για μια άπειρη σειρά, η τιμή της σύγκλισης δίνεται από το S n = a / (1-r) Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής ακολουθίας / εξέλιξης; • Σε μια αριθμητική ακολουθία, οι δύο διαδοχικοί όροι έχουν μια κοινή διαφορά (d), ενώ, με γεωμετρική ακολουθία, οι δυο διαδοχικοί όροι έχουν σταθερό πηλίκο (r). • Σε μια αριθμητική ακολουθία, η διακύμανση των όρων είναι γραμμική, i. μι. μια ευθεία γραμμή μπορεί να τραβηχτεί περνώντας από όλα τα σημεία. Σε μια γεωμετρική σειρά, η μεταβολή είναι εκθετική. είτε αυξάνεται είτε αποσυντίθεται με βάση την κοινή αναλογία.
• Όλες οι άπειρες αριθμητικές ακολουθίες αποκλίνουν, ενώ οι άπειρες γεωμετρικές σειρές μπορούν είτε να είναι αποκλίνουσες είτε να συγκλίνουν.
• Η γεωμετρική σειρά μπορεί να παρουσιάσει ταλάντωση εάν ο λόγος r είναι αρνητικός, ενώ η αριθμητική σειρά δεν εμφανίζει ταλάντωση
