Διαφορά μεταξύ λογαριθμικής και εκθετικής
είναι μία από τις σημαντικότερες κατηγορίες μαθηματικών αντικειμένων, τα οποία χρησιμοποιούνται εκτεταμένα σε σχεδόν όλους τους υποτομείς των μαθηματικών. Καθώς τα ονόματά τους υποδεικνύουν τόσο την εκθετική λειτουργία όσο και τη λογαριθμική λειτουργία, υπάρχουν δύο ειδικές λειτουργίες. Μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ δύο συνόλων που ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου, η τιμή που αντιστοιχεί σε αυτό στο δεύτερο σύνολο, είναι μοναδική. Έστω ƒ είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από το σύνολο
A
σε σύνολο B. Στη συνέχεια για κάθε x ε A, το σύμβολο ƒ (x) δηλώνει τη μοναδική τιμή στο σύνολο B που αντιστοιχεί στο x. Καλείται η εικόνα του x κάτω από ƒ. Επομένως, μια σχέση ƒ από A σε B είναι μια συνάρτηση αν και μόνο αν για κάθε x ε και y ε, εάν x = y τότε ƒ (x) = ƒ (y). Το σύνολο A ονομάζεται τομέας της συνάρτησης ƒ και είναι το σύνολο στο οποίο ορίζεται η λειτουργία. Τι είναι η εκθετική λειτουργία; Η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση που δίνεται από το ƒ (x) = e
x, όπου e = lim (1 + 1 / n)
n και είναι ένας υπερβατικός παράλογος αριθμός. Μια από τις ειδικότητες της συνάρτησης είναι ότι το παράγωγο της συνάρτησης είναι ίσο με το ίδιο. Εγώ. μι. όταν y = e χ , dy / dx = e χ . Επίσης, η συνάρτηση είναι μια συνεχής αυξανόμενη συνάρτηση που έχει τον άξονα x ως ασυμπτωτικό. Επομένως, η λειτουργία είναι επίσης one-to-one. Για κάθε x ε R έχουμε το e x > 0 και μπορούμε να δείξουμε ότι είναι R + . Επίσης, ακολουθεί τη βασική ταυτότητα e x + y = e x . e y και e 0 = 1. Η συνάρτηση μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας την επέκταση σειράς που δίνεται από το 1 + x / 1! + χ 2 / 2! + χ 3 / 3! + … + x n / n! + …
, μια συνάρτηση g μπορεί να οριστεί από το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών στο σύνολο των πραγματικών αριθμών που δίνεται από το g (y) = x, αν και μόνο εάν, y = e
x. Αυτή η συνάρτηση g ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση ή πιο συχνά ως φυσικός λογάριθμος. Δηλώνεται με g (x) = log e x = ln x. Δεδομένου ότι είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης, αν πάρουμε την αντανάκλαση του γραφήματος της εκθετικής συνάρτησης πάνω από τη γραμμή y = x, τότε θα έχουμε το γράφημα της λογαριθμικής συνάρτησης. Έτσι, η συνάρτηση είναι ασυμπτωτική στον άξονα y.
x, ενώ η λογαριθμική συνάρτηση δίνεται από το g (x) = ln x και ο πρώην είναι το αντίστροφο του τελευταίου. • Ο τομέας της εκθετικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών, αλλά ο τομέας της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών.
|
• Το εύρος της εκθετικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών, αλλά το εύρος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών. Συνιστάται |
